Hur stor blir oändliga

•

Oändlighet

Oändlighet är ett begrepp för obegränsning och obundenhet i storlek, antal eller utsträckning. Dess motsats är ändlighet. Man skiljer mellan potentiell oändlighet och faktisk oändlighet. Den matematiska symbolen är en lemniskata (∞).

Oändlighet och kardinalitet

[redigera | redigera wikitext]

Mycket av problemet med att förstå oändligheter ligger i vad man menar med ordet oändligt, och även antal. En möjlig definition för oändlighet (men inte den enda) ges med hjälp av kardinalitet – där man säger att två mängder är lika stora om man kan para ihop varje element i den ena mängden med ett (och endast ett) element i den andra mängden, och vice versa. Har du tre tärningar och tre femtioöringar är de lika många, eftersom de kan paras ihop ett och ett.

Matematikern Richard Dedekind gav en definition av oändlighet som bygger på att en mängd är oändlig om man kan ta bort minst ett element från mängden, och den fortfarande är lika stor (det vill säga har samma ka

•

Gränsvärde

När vi gick igenom rationella funktioner kom vi fram till att funktioner, oftast betecknade f(x), har något som kallas definitionsmängd, som betyder vilka variabelvärden x, som är tillåtna för just den funktionen.

Om vi tittar på en funktion som

$$f(x)=\frac{1}{x^{2}}$$

så ser vi direkt att x inte får ha värdet noll, eftersom nämnaren (x²) då blir noll. Men vad händer med funktionens värde när vi befinner oss nära x=0? Ett bra sätt att undersöka det är genom att rita upp funktionens graf. Ett annat sätt är att skapa en tabell där vi testar vilka värden funktionen får, när vi väljer variabelvärden som ligger allt närmare det odefinierade värdet x=0

x	f(x)
-1	1
-0,1	100
-0,01	10000
1	1
0,1	100
0,01	10000

När vi testar mindre och mindre värden på x (positiva eller negativa), så märker vi att det inte finns någon övre gräns för hur stort funktionsvärdet kan bli. Vi säger då att funktionsvärdet går mot oändli

•

Talföljder

I det här kapitlet kommer vi att lära oss om talföljder och även hur vi med hjälp av så kallade induktionsbevis kan bevisa påståenden som gäller för talföljder och summor.

Inledningsvis kommer vi i det här avsnittet att repetera hur talföljder fungerar och hur vi kan beskriva vissa typer av talföljder. Därefter kommer vi i nästa avsnitt att lära oss mer om rekursion, vilket är ett sätt att successivt beräkna talen i en talföljd utifrån de tal som redan är kända.

Talföljder

I Matte 1-kursen stötte vi på två typer av talföljder: aritmetiska talföljder och geometriska talföljder.

Allmänt gäller att en talföljd är en uppräkning av tal i en viss ordning. De tal som ingår i en talföljd kallas element.

Här nedan är två exempel på talföljder, där den första är en aritmetisk talföljd och den andra är en geometrisk talföljd:

$$3,\,5,\,7,\,9,\,11,\,...$$

och

$$9,\,-3,\,1,\,-\frac{1}{3},\,\frac{1}{9},\,...$$

I de båda exemplen ovan finns det ett mönster som gör att vi