Hur fungerar talföljder
•
Aritmetiska talföljder är talföljder som ökar eller minskar med ett konstant värde. Till exempel är följande talföljder aritmetiska:
1. \( 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ 13,\ 15, … \)
2.\( -16,\ -20,\ -24,\ -28,\ -32, … \)
Den första talföljden ökar hela tiden med 2, och den andra talföljden minskar hela tiden med 4. Detta konstanta värde kallas differensen, och brukar betecknas med \( d\). I första talföljden är \( d =2\) och i andra \( d=-4\).
Det är mycket lätt att beräkna differensen, du tar ett tal i talföljden, sedan tar du talet precis förgående och subraherar det första du valde med det föregående. Om vi återgår till den första talföljden så kan vi välja talet 11, då är det föregående talet 9, då blir differensen \( d = 11-9 = 2\). I andra talföljden kan vi välja −32 och −28, och vi får då \( d = -32 – (-28) = -32 + 28 = -4\). Om du testar själv kan du se att differensen alltid är den samma i de olika talföljderna. (om den inte är det så är det inte en artimetisk tal
•
Talföljders mönster
En talföljd kan följa ett antal instruktioner som visar hur talföljden är uppbyggd. Den här talföljden: 2, 4, 6, 8, börjar på 2 och ökar med 2 i taget. Det är talföljdens mönster. Ibland känner vi bara till mönstret, och vill lista ut talföljden. Vi prövar med ett exempel!
Om mönstret är "börjar på 5 och ökar med 3", vet vi att talföljden inleds med 5. Sen då? "Ökar med tre" 5 plus 3 är ... 8, så nästa tal är 8. 8 plus 3 är ... 11, det är talet därefter. 11 plus 3 ... det är 14. 5, 8, 11, 14 och så vidare. Så där! Vi har skapat en talföljd utifrån mönstret!
Titta på nästa mönster och se om du kan hitta vilken talföljd det motsvarar! Talföljden som följer mönstret är 25, 22, 19, 16, 13. De mönster vi tittat på hittills använder sig av addition och subtraktion. Mönstret för en talföljd kan också innehålla andra räknesätt, som multiplikation och division. Vilken talföljd får man av det här mönstret?
Talföljden som följer mönstret är 7, 14, 28, 56, 11
•
Talföljder
I det här kapitlet kommer vi att lära oss om talföljder och även hur vi med hjälp av så kallade induktionsbevis kan bevisa påståenden som gäller för talföljder och summor.
Inledningsvis kommer vi i det här avsnittet att repetera hur talföljder fungerar och hur vi kan beskriva vissa typer av talföljder. Därefter kommer vi i nästa avsnitt att lära oss mer om rekursion, vilket är ett sätt att successivt beräkna talen i en talföljd utifrån de tal som redan är kända.
Talföljder
I Matte 1-kursen stötte vi på två typer av talföljder: aritmetiska talföljder och geometriska talföljder.
Allmänt gäller att en talföljd är en uppräkning av tal i en viss ordning. De tal som ingår i en talföljd kallas element.
Här nedan är två exempel på talföljder, där den första är en aritmetisk talföljd och den andra är en geometrisk talföljd:
$$3,\,5,\,7,\,9,\,11,\,...$$
och
$$9,\,-3,\,1,\,-\frac{1}{3},\,\frac{1}{9},\,...$$
I de båda exemplen ovan finns det ett mönster som gör att vi